스펙트럼 정리

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1. 개요
2. 행렬에 대한 스펙트럼 정리
3. 콤팩트 작용소에 대한 스펙트럼 정리
4. 유계 자기 수반 연산자에 대한 스펙트럼 정리
5. 일반적인 자기 수반 연산자에 대한 스펙트럼 정리
- 5.1. 함수 미적분학
참조

1. 개요

스펙트럼 정리는 에르미트 행렬, 정규 행렬, 콤팩트 자기 수반 작용소, 그리고 일반적인 자기 수반 연산자에 대한 고유 벡터와 고유값의 존재를 다루는 중요한 정리이다. 이 정리는 행렬을 대각화하거나, 힐베르트 공간에서 작용소를 분석하는 데 사용되며, 다양한 형태(행렬, 콤팩트 작용소, 유계 및 비유계 자기 수반 연산자)로 표현된다. 스펙트럼 정리는 함수 미적분학을 정의하는 데에도 중요한 역할을 한다.

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스펙트럼 정리
개요
분야	선형대수학
관련 항목	고유값 분해 특이값 분해 정규 행렬 대각화 가능 행렬 조르당 정규 형식
설명
내용	어떤 조건 하에서 행렬 또는 선형 연산자를 대각화할 수 있는지를 다룸
주요 결과	정규 행렬은 유니타리 행렬에 의해 대각화 가능 에르미트 행렬은 직교 행렬에 의해 대각화 가능 실수 대칭 행렬은 직교 행렬에 의해 대각화 가능
관련 개념
고유 공간	행렬의 고유값에 대응하는 고유 벡터들의 집합
고유값	행렬이 선형 변환으로 작용할 때, 변환 후에도 방향이 변하지 않는 벡터의 스칼라 곱
고유 벡터	행렬이 선형 변환으로 작용할 때, 방향이 변하지 않는 벡터
대각화	행렬을 대각 행렬로 변환하는 과정
선형 연산자	벡터 공간에서 다른 벡터 공간으로의 선형 변환

2. 행렬에 대한 스펙트럼 정리

유한 차원 벡터 공간에서 작용하는 에르미트 행렬, 정규 행렬, 대칭 행렬과 같은 특정 종류의 행렬에 대해, 스펙트럼 정리는 해당 행렬의 고유벡터들이 공간의 정규 직교 기저를 이룬다는 중요한 결과를 제공한다. 이는 해당 행렬이 유니터리 행렬이나 직교 행렬을 통해 대각 행렬 형태로 변환될 수 있음을 의미한다.

복소수 벡터 공간 $\mathbb{C}^n$ 에서 $n \times n$ 에르미트 행렬 $A$ (더 일반적으로 정규 행렬이어도 충분하다)는 그 고유벡터들로 구성된 $\mathbb{C}^n$ 의 정규 직교 기저를 가진다. 이 기저를 이용하면 $A$ 는 유니터리 행렬을 통해 대각화될 수 있다.

실수 벡터 공간 $\mathbb{R}^n$ 에서 $n \times n$ 대칭 행렬 $A$ 의 경우에도 마찬가지로, 그 고유벡터들로 구성된 $\mathbb{R}^n$ 의 정규 직교 기저가 존재하며, 이를 통해 $A$ 는 직교 행렬을 이용하여 대각화될 수 있다.

2. 1. 에르미트 행렬

A\colon\mathbb C^n\to\mathbb C^n

가

n\times n

에르미트 행렬이라고 하자. (이는 정규 행렬의 특수한 경우이다.) '''스펙트럼 정리'''에 따르면,

A

의 고유벡터들로 구성된

\mathbb C^n

의 정규 직교 기저가 존재한다. 즉,

A

는 다음과 같이 유니터리 행렬

U

와

A

의 고윳값

\lambda_1,\dots,\lambda_n

(중복도 포함)으로 이루어진 대각 행렬을 이용하여 나타낼 수 있다.

:

A=U\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)U^{*}

여기서

U^*

는

U

의 켤레 전치이다.

마찬가지로, 실수 대칭행렬

A\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n

의 경우, '''스펙트럼 정리'''에 따라 다음과 같이 직교행렬

Q

를 이용하여 표현할 수 있다.

:

A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)Q^{T}

여기서

Q^T

는

Q

의 전치 행렬이다.

복소수 벡터 공간

\mathbb{C}^n

상의 에르미트 행렬을 먼저 생각해보자. 더 일반적으로, 양의 정부호 세스키선형 내적

\langle \cdot, \cdot \rangle

을 갖춘 유한 차원 복소수 내적 공간

V

상의 에르미트 사상

A

를 고려할 수 있다.

A

가 에르미트 연산자라는 조건은 모든

x, y \in V

에 대해 다음을 만족하는 것을 의미한다.

:

\langle A x, y \rangle = \langle x, A y \rangle

이는

A

의 에르미트 켤레

A^*

에 대해

A^* = A

라는 조건과 동등하다.

A

가 에르미트 행렬일 때,

A^*

는

A

의 켤레 전치 행렬이다. 만약

A

가 실수 행렬이라면, 이 조건은

A^T = A

, 즉

A

가 대칭 행렬이라는 것과 같다.

에르미트 조건으로부터 모든 고유값은 실수임을 알 수 있다. 고유벡터

v

와 해당 고유값

\lambda

에 대해 (

Av = \lambda v

), 다음이 성립한다.

:

\lambda \langle v, v \rangle = \langle \lambda v, v \rangle = \langle A v, v \rangle = \langle v, A v \rangle = \langle v, \lambda v \rangle = \bar\lambda \langle v, v \rangle

\langle v, v \rangle \neq 0

이므로,

\lambda = \bar\lambda

, 즉

\lambda

는 실수이다.
정리:

A

가 유한 차원 내적 공간

V

상의 에르미트 사상이라면,

A

의 고유 벡터로 구성된

V

의 정규 직교 기저가 존재하며,

A

의 모든 고유값은 실수이다.
증명 개요 (복소수 벡터 공간의 경우):대수학의 기본 정리에 따라

A

의 특성 다항식은 적어도 하나의 복소수 근, 즉 고유값

\lambda_1

을 가지며, 이에 대응하는 고유벡터

v_1 \neq 0

이 존재한다. 위에서 보였듯이

\lambda_1

은 실수이다.

이제

v_1

의 직교 여공간

K_1 = \text{span}(v_1)^\perp

을 생각하자. 에르미트 성질에 의해

K_1

은

A

의 불변 부분 공간이다. 즉,

k \in K_1

이면

Ak \in K_1

이다. (

\langle Ak, v_1 \rangle = \langle k, Av_1 \rangle = \langle k, \lambda_1 v_1 \rangle = \lambda_1 \langle k, v_1 \rangle = 0

이므로)

A

를

K_1

에 제한한 사상 역시 에르미트 사상이므로, 같은 논리를 적용하여

K_1

내에서 실수 고유값

\lambda_2

와 고유벡터

v_2 \in K_1

(

v_2 \perp v_1

)를 찾을 수 있다. 이 과정을 유한 차원 공간에서 반복하면(수학적 귀납법), 서로 직교하는 고유벡터

v_1, v_2, \dots, v_n

으로 이루어진

V

의 기저를 얻는다. 이 벡터들을 정규화하면 정규 직교 기저가 된다.

실수 대칭 행렬의 경우에도 스펙트럼 정리는 성립한다. 고유값의 존재는 대수학의 기본 정리로부터 직접 나오지 않지만, 실수 대칭 행렬을 복소수 에르미트 행렬로 간주하여 모든 고유값이 실수임을 이용하여 증명할 수 있다.

A

의 고유 벡터를 정규 직교 기저로 선택하면, 그 기저에서

A

는 대각 행렬로 표현된다. 이는

A

를 쌍으로 직교하는 사영(projection)들의 선형 결합으로 나타내는 스펙트럼 분해와 동등하다. 고유값

\lambda

에 대응하는 고유 공간을 다음과 같이 정의한다.

:

V_\lambda = \{\,v \in V: A v = \lambda v\,\}

V

는 서로 다른 고유값

\lambda_1, \dots, \lambda_m

에 대응하는 고유 공간

V_{\lambda_i}

들의 직교 직합이다.

P_{\lambda_i}

를

V_{\lambda_i}

위로의 직교 사영이라고 하면, 스펙트럼 분해는 다음과 같다.

:

A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\cdots+\lambda_m P_{\lambda_m}

스펙트럼 분해는 슈어 분해와 특이값 분해의 특수한 경우이다.

2. 2. 정규 행렬

스펙트럼 정리는 더 일반적인 행렬인 정규 행렬에 대해서도 확장될 수 있다. 어떤 유한 차원 내적 공간 위의 연산자 ''A''가 자신의 켤레 전치 ''A''^*와 교환 가능하다면, 즉

A^* A = A A^*

를 만족한다면, 이 행렬 ''A''를 정규 행렬이라고 부른다.

슈어 분해 정리에 따르면, 임의의 복소 정사각 행렬 ''A''는 어떤 유니터리 행렬 ''U''와 상삼각 행렬 ''T''를 이용해

A = U T U^*

꼴로 나타낼 수 있다. 만약 ''A''가 정규 행렬이라면, 이 분해에서 나타나는 상삼각 행렬 ''T'' 역시 정규 행렬(

T^* T = T T^*

)이 된다. 그런데 정규이면서 동시에 상삼각인 행렬은 반드시 대각 행렬이어야 한다. 따라서 ''A''가 정규 행렬이면 ''T''는 대각 행렬이 된다. 역으로, ''T''가 대각 행렬이면 ''A''는 항상 정규 행렬이다.

결론적으로, 행렬 ''A''가 정규 행렬일 필요충분조건은 ''A''가 유니터리 대각화 가능하다는 것, 즉 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다는 것이다.

:

A = U D U^*

여기서 ''U''는 유니터리 행렬이고, ''D''는 대각 행렬이다. 이때 대각 행렬 ''D''의 대각 성분들은 행렬 ''A''의 고유값들이며, 유니터리 행렬 ''U''의 열 벡터들은 ''A''에 대응하는 고유 벡터들로 구성된 정규 직교 기저를 이룬다.

에르미트 행렬은 정규 행렬의 특별한 경우이다. 에르미트 행렬의 고유값은 항상 실수이지만, 일반적인 정규 행렬의 고유값은 실수가 아닐 수도 있으며, 복소수 값을 가질 수 있다.

2. 3. 특이값 분해와의 관계

스펙트럼 분해는 특이값 분해(SVD)의 특수한 경우로 볼 수 있다. 모든

m \times n

복소 행렬

A

는 다음과 같이 특이값 분해를 통해 표현될 수 있다.

:

A = U \Sigma V^{*}

여기서

U

는

m \times m

유니타리 행렬이고,

V

는

n \times n

유니타리 행렬이며,

\Sigma

는

m \times n

대각 행렬이다.

\Sigma

의 대각 성분들은 음수가 아닌 실수이며, 이를

A

의 특이값이라고 한다.

만약 행렬

A

가 에르미트 행렬이라면 (

A = A^*

), 특이값 분해는 스펙트럼 분해와 밀접한 관련을 가진다. 에르미트 행렬의 경우

m=n

이며, 특이값 분해 식에서

A^* = (U \Sigma V^*)^* = V \Sigma^* U^* = V \Sigma U^*

가 된다. (에르미트 행렬의 특이값은 고윳값의 절댓값이므로

\Sigma

는 실수 대각 행렬이고

\Sigma^* = \Sigma

이다.) 따라서

A = A^*

조건으로부터

U \Sigma V^* = V \Sigma U^*

를 얻는다. 특정 조건 하에서 이는

U = V

임을 의미하게 되어, 특이값 분해

A = U \Sigma U^*

는 에르미트 행렬의 스펙트럼 분해 형식과 일치하게 된다. 이 경우, 특이값은 고윳값의 절댓값이 된다.

3. 콤팩트 작용소에 대한 스펙트럼 정리

힐베르트 공간 $\mathcal H$ 위의 콤팩트 자기 수반 작용소 $A\colon\mathcal H\to\mathcal H$ 가 주어졌을 때, 스펙트럼 정리에 따르면 $A$ 의 고유벡터들로 이루어진 $\mathcal H$ 의 정규 직교 기저가 존재하며, 모든 고유값은 실수이다.

이는 무한 차원 힐베르트 공간에서도 성립하며, 콤팩트 자기 수반 작용소에 대한 스펙트럼 정리의 내용은 유한 차원 에르미트 행렬의 경우와 거의 동일하다.

'''정리''' 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 콤팩트 자기 수반 작용소 $A$ 에 대해, $A$ 의 고유벡터로 구성된 $V$ 의 정규 직교 기저가 존재한다. 또한, 모든 고유값은 실수이다.

에르미트 행렬의 경우와 같이, 증명의 핵심은 0이 아닌 고유벡터가 적어도 하나 존재함을 보이는 것이다. 유한 차원과 달리 행렬식을 사용할 수 없으므로, 고유값의 변분적 특성과 유사한 최대화 논증을 이용한다.

만약 작용소 $A$ 가 콤팩트하다는 가정이 없다면, 모든 자기 수반 작용소가 고유벡터를 가지는 것은 아니다. 예를 들어, L² 공간 $L^2([0,1])$ 에서 함수 $\psi(x)$ 를 $x\psi(x)$ 로 보내는 곱셈 작용소 $M_x$ 는 유계이고 자기 수반이지만 고유벡터를 가지지 않는다. 하지만 이 작용소의 스펙트럼은 구간 $[0,1]$ 과 같다.

4. 유계 자기 수반 연산자에 대한 스펙트럼 정리

힐베르트 공간 $\mathcal H$ 위의 유계 자기 수반 작용소는 함수해석학에서 중요한 연구 대상이며, 유한 차원 벡터 공간의 대칭 행렬이나 에르미트 행렬에 대응하는 개념이다. 그러나 무한 차원에서는 고유한 특징을 가진다.

주요 차이점 중 하나는 유계 자기 수반 작용소가 반드시 고유벡터를 가지지는 않는다는 점이다. 예를 들어, L²[0, 1] (구간 [0, 1] 위에서 제곱 적분 가능한 함수들의 힐베르트 공간)에서 함수 $f(t)$ 에 변수 $t$ 를 곱하는 연산자 $A$ 를 생각해보자.^[3]

$[A f](t) = t f(t)$

이 연산자 $A$ 는 유계 자기 수반 작용소이지만, $L^2[0, 1]$ 공간 내에는 고유벡터가 존재하지 않는다. 만약 $A f = \lambda f$ 라면, 거의 모든 $t$ 에 대해 $(t - \lambda) f(t) = 0$ 이 성립해야 하므로, $f(t)$ 는 $t=\lambda$ 를 제외한 모든 점에서 0이어야 한다. $L^2$ 공간에서는 한 점에서의 값은 의미가 없으며, 0이 아닌 함수는 $L^2$ 노름이 0이 될 수 없기 때문에 고유벡터가 될 수 없다. (수학적인 분포 개념을 도입하면 디랙 델타 함수를 일종의 "일반화된 고유벡터"로 간주할 수 있으나, 이는 $L^2[0, 1]$ 공간의 원소가 아니다.)

이처럼 고유벡터가 없는 경우에도 스펙트럼 정리는 유효하며, 유계 자기 수반 작용소의 구조를 파악하는 데 핵심적인 도구를 제공한다. 스펙트럼 정리는 이러한 작용소를 보다 다루기 쉬운 형태로 표현할 수 있게 해주며, 주로 두 가지 방식으로 공식화된다.

1. 곱셈 연산자 형태: 모든 유계 자기 수반 작용소 $A$ 는 어떤 측도 공간 $(X, \Sigma, \mu)$ 위의 L² 공간 $L^2_\mu(X)$ 에서 실수 값을 가지는 가측 함수 $f$ 를 곱하는 곱셈 연산자 $T$ 와 유니터리 동치이다.^[13] 즉, 적절한 유니터리 작용소 $U: \mathcal H \to L^2_\mu(X)$ 가 존재하여 $A = U^* T U$ 로 표현된다. 이는 복잡한 작용소 $A$ 를 단순한 곱셈 연산으로 변환하여 분석할 수 있음을 시사한다.

2. 사영 값 측도 형태: 작용소 $A$ 를 그 스펙트럼 $\sigma(A)$ 위에서 정의된 사영 값 측도(projection-valued measure) $E_{\lambda}$ 를 이용한 적분 형태로 나타낼 수 있다.

$A = \int_{\sigma(A)} \lambda \, d E_{\lambda}$

이 표현은 작용소 $A$ 가 스펙트럼 값 $\lambda$ 와 그에 대응하는 사영 $dE_{\lambda}$ 들의 연속적인 합으로 분해될 수 있음을 의미한다.

이러한 스펙트럼 정리들은 작용소론이라는 함수해석학의 중요한 연구 분야의 기초를 형성한다. 또한, 유계 정규 작용소에 대해서도 유사한 스펙트럼 정리가 존재하며, 이 경우 곱셈 연산자 형태의 함수 $f$ 가 복소수 값을 가질 수 있다는 점이 다르다.

만약 작용소가 콤팩트 작용소인 특별한 경우에는, 스펙트럼 정리가 유한 차원 공간의 경우와 유사하게 고유값과 고유벡터(또는 고유공간으로의 사영)들의 합으로 표현되어 형태가 더 단순해진다. 그러나 일반적인 유계 자기 수반 작용소는 스펙트럼이 연속적인 부분을 포함할 수 있으므로, 위에서 설명한 곱셈 연산자나 적분 형태의 표현이 필요하다.

4. 1. 스펙트럼 부분 공간과 사영 값 측정

자기 수반 작용소가 항상 명확한 고유벡터를 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 힐베르트 공간

L^2[0, 1]

위에서 함수에 변수

t

를 곱하는 연산자

[A \varphi](t) = t \varphi(t)

는 고유벡터를 갖지 않는다.

이런 경우, 진정한 고유벡터 대신 "거의 고유벡터" 개념을 도입할 수 있다. 즉, 연산자

A

의 스펙트럼

\sigma(A)

의 특정 보렐 집합

E

에 대해, 이와 관련된 힐베르트 공간

\mathcal H

의 닫힌 부분 공간

V_E

를 생각할 수 있다. 이 부분 공간

V_E

는

E

에 속하는 값들을 '거의 고유값'으로 가지는

A

의 일반화된 고유벡터들로 생성된 공간으로 볼 수 있다.^[4] 예를 들어, 위에서 언급한 곱셈 연산자

[A f](t) = t f(t)

의 경우,

[0,1]

안의 작은 구간

[a, a+\varepsilon]

에서 지지(support)를 가지는 함수들의 부분 공간을 생각할 수 있다. 이 부분 공간은

A

에 대해 불변이며, 이 공간의 모든 함수

f

에 대해

Af

는

af

에 매우 가깝게 된다.

각 스펙트럼 부분 공간

V_E

는 해당 공간으로의 사영 연산자

P_E

(또는

\pi(E)

,

E_\lambda

등으로 표기)와 연관된다. 스펙트럼

\sigma(A)

의 모든 보렐 부분집합

E

에 대한 이러한 사영 연산자들의 모임은 투영 값 측정(projection-valued measure, PVM)을 형성한다.

스펙트럼 정리의 중요한 공식 중 하나는 자기 수반 작용소

A

를 이 투영 값 측정

\pi

(또는

E

)을 이용하여 스펙트럼

\sigma(A)

상에서 항등 함수

\lambda \mapsto \lambda

를 적분한 형태로 표현하는 것이다.^[5]

A = \int_{\sigma(A)} \lambda \, d \pi (\lambda)

또는

A = \int_{\sigma(A)} \lambda \, d E_{\lambda}

이 표현은 작용소

A

가 스펙트럼 값

\lambda

와 그에 대응하는 사영

d\pi(\lambda)

(또는

dE_\lambda

)의 '연속적인 합'으로 분해될 수 있음을 의미한다.

만약 자기 수반 작용소

A

가 콤팩트 연산자인 특별한 경우에는, 이 스펙트럼 정리의 적분 형태는 유한 차원에서의 스펙트럼 분해와 유사하게 단순화된다. 즉, 적분은 사영 연산자들의 유한 또는 가산 무한 선형 결합으로 표현되며, 투영 값 측정은 이산적인 고유값들에서만 값을 가지는, 즉 원자(atom)들로만 구성된 측도가 된다.

4. 2. 곱셈 연산자 버전

스펙트럼 정리의 또 다른 형태는 힐베르트 공간

H

위의 모든 유계 자기 수반 작용소가 곱셈 연산자와 유니터리 동치임을 설명한다.^[6] 이는 비교적 단순한 유형의 연산자인 곱셈 연산자를 통해 복잡한 자기 수반 작용소를 분석할 수 있게 한다.

'''정리'''^[6]^[13]: 힐베르트 공간

H

위의 유계 자기 수반 작용소

A

가 주어졌다고 하자. 그러면 어떤 측도 공간

(X, \Sigma, \mu)

와

X

위의 본질적으로 유계인 실수 값 가측 함수

f

, 그리고 유니터리 작용소

U: H \to L^2(X, \mu)

가 존재하여 다음이 성립한다.

:

U^* T U = A

여기서

T

는 곱셈 연산자이며, 다음과 같이 정의된다.

:

[T \varphi](x) = f(x) \varphi(x)

또한, 연산자 노름은

\|T\| = \|f\|_\infty

관계를 만족한다.

여기서 곱셈 연산자

T

는 함수

\varphi(x)

에 단순히 함수

f(x)

를 곱하는 역할을 한다. 이 정리는 복잡한 연산자

A

를 유니터리 변환

U

를 통해 더 간단한 곱셈 연산자

T

로 변환할 수 있음을 의미한다.

U^*

는

U

의 에르미트 수반 연산자이다.

이러한 곱셈 연산자는 유한 차원 벡터 공간에서의 대각 행렬 개념을 무한 차원으로 일반화한 것으로 볼 수 있다. 유한 차원 에르미트 벡터 공간

V

의 경우, 스펙트럼 정리에 따라 연산자

A

를 고유 벡터로 이루어진 정규 직교 기저

B

에서 대각 행렬로 표현할 수 있다. 이 기저

B

를 이산적인 측도를 가진 공간으로 보고, 벡터를

B

에서 복소수로 가는 함수로 생각하면, 연산자

A

는 각 기저 벡터(함수)에 해당하는 고유값

\lambda(v)

를 곱하는 곱셈 연산자

[Tf](v) = \lambda(v) f(v)

와 유니터리하게 동치가 된다. 이때 연산자 노름

\|A\| = \|T\|

는 가장 큰 고유값의 절댓값

\|\lambda\|_\infty

와 같다.

모든 유계 자기 수반 작용소가 고유값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, L²[0, 1] 위에서 함수

\varphi(t)

에 변수

t

를 곱하는 연산자

:

[A \varphi](t) = t \varphi(t)

는 유계 자기 수반 작용소이지만 고유값을 갖지 않는다. 스펙트럼 정리는 이러한 경우에도 적용될 수 있으며, 곱셈 함수

f(x)

가 고유값의 역할을 대신하게 된다.

이 정리는 힐베르트 공간 위의 유계 정규 작용소에 대해서도 유사하게 성립한다. 이 경우, 곱셈 함수

f

는 실수 값이 아닌 복소수 값을 가질 수 있다는 점만 다르다.

스펙트럼 정리의 곱셈 연산자 버전은 함수해석학의 중요한 분야인 연산자 이론의 기초를 이룬다.

4. 3. 직접 적분

직접 적분을 사용하여 스펙트럼 정리를 공식화하는 방법도 있다. 이는 곱셈 연산자 공식과 유사하지만, 좀 더 표준적인 방식으로 여겨진다.

유계 자기 수반 작용소

A

가 주어졌다고 하자.

\sigma (A)

를

A

의 스펙트럼이라고 할 때, 스펙트럼 정리의 직접 적분 공식은

A

에 두 가지 요소를 연관시킨다. 첫 번째는

\sigma (A)

상의 측도

\mu

이고, 두 번째는 각

\lambda\in\sigma (A)

에 대응하는 힐베르트 공간들의 모임

\{H_{\lambda}\}

이다. 이들을 이용하여 직접 적분 힐베르트 공간을 다음과 같이 구성한다.

\int_\mathbf{R}^\oplus H_{\lambda}\, d \mu(\lambda).

이 공간의 원소는 각

\lambda\in\sigma(A)

에 대해

s(\lambda)\in H_{\lambda}

를 만족하는 함수(또는 "단면")

s(\lambda)

이다.

스펙트럼 정리의 직접 적분 버전은 다음과 같이 기술된다:^[7]

A

가 유계 자기 수반 연산자이면,

A

는 어떤 측도

\mu

와 힐베르트 공간의 모임

\{H_{\lambda}\}

에 대해 직접 적분 공간

\int_\mathbf{R}^\oplus H_{\lambda}\, d \mu(\lambda)

위에서 "

\lambda

로 곱하기" 연산자와 유니타리 동치이다. 여기서 측도

\mu

는 측도론적 동치 관계 아래에서

A

에 의해 유일하게 결정된다. 즉, 동일한

A

에 연관된 두 측도는 측도가 0인 집합들이 동일하다. 또한, 힐베르트 공간

H_{\lambda}

의 차원은

\mu

-측도 0인 집합을 제외하고는

A

에 의해 유일하게 결정된다.

여기서 공간

H_{\lambda}

는

A

에 대한 "고유 공간"과 유사하게 생각할 수 있다. 하지만, 한 점 집합

\{\lambda\}

의 측도가 0인 경우,

H_{\lambda}

는 실제 직접 적분 공간의 부분 공간이 아니다. 따라서

H_{\lambda}

는 "일반화된 고유 공간"으로 간주해야 하며, 그 원소들은 실제 힐베르트 공간에 속하지 않는 "고유 벡터"로 생각할 수 있다.

스펙트럼 정리의 곱셈 연산자 공식과 직접 적분 공식 모두 자기 수반 연산자를 곱셈 연산자와 유니타리 동치로 표현하지만, 직접 적분 방식이 더 표준적으로 간주된다. 그 이유는 직접 적분이 이루어지는 집합(연산자의 스펙트럼)과 곱해지는 함수(

\lambda\mapsto\lambda

)가 표준적이기 때문이다.

힐베르트 공간 위의 유계 자기 수반 작용소는 고유값을 갖지 않을 수도 있다. 예를 들어, ''L''²[0, 1] 위에서 변수

t

를 곱하는 연산자

[A \varphi](t) = t \varphi(t)

는 고유값을 가지지 않는다. 이러한 경우를 포함하는 일반적인 정리는 다음과 같다.^[13]

'''정리''': 힐베르트 공간

H

위의 유계 자기 수반 작용소

A

에 대해, 어떤 측도 공간

(X, \Sigma, \mu)

와

X

위의 본질적으로 유계인 실수 값 가측 함수

f

, 그리고 유니타리 작용소

U: H \to L^2_\mu(X)

가 존재하여 다음이 성립한다.

:

U^* T U = A \;

여기서

T

는 곱셈 작용소

[T \varphi](x) = f(x) \varphi(x)

이며,

\|T\| = \|f\|_\infty

이다.

이 정리는 함수해석학의 한 분야인 작용소론의 중요한 시작점이다. 상미분 방정식의 스펙트럼 이론도 관련 분야이다.

힐베르트 공간 위의 유계 정규 작용소에 대해서도 유사한 스펙트럼 정리가 존재한다. 이 경우, 함수

f

는 복소수 값을 가질 수 있다는 점이 다르다.

스펙트럼 정리를 표현하는 또 다른 방식은 작용소

A

를 그 스펙트럼

\sigma(A)

상의 사영 값 측도(projection-valued measure)

E_{\lambda}

에 대한 좌표 함수

\lambda

의 적분으로 나타내는 것이다.

:

A = \int_{\sigma(A)} \lambda \, d E_{\lambda}

만약 다루는 정규 작용소가 콤팩트 작용소라면, 이 스펙트럼 정리는 유한 차원 스펙트럼 정리와 유사한 형태가 된다. 그렇지 않은 경우, 작용소는 무한히 많은 사영들의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

4. 4. 순환 벡터와 단순 스펙트럼

힐베르트 공간

\mathcal H

의 어떤 벡터

\varphi

에 대해,

\varphi

에 자기 수반 작용소

A

를 반복적으로 작용시켜 얻어지는 벡터들의 집합

\{\varphi, A\varphi, A^2\varphi, \ldots\}

이

\mathcal H

전체를 생성할 수 있을 때 (더 정확히는, 이 벡터들의 선형 결합으로 이루어진 공간이

\mathcal H

에서 조밀 부분 공간을 이룰 때), 벡터

\varphi

를 작용소

A

에 대한 '''순환 벡터'''(cyclic vector)라고 부른다.

만약 유계 자기 수반 작용소

A

에 대해 순환 벡터가 존재한다면, 스펙트럼 정리는 더 단순한 형태로 표현될 수 있다. 이 경우,

A

는 자신의 스펙트럼

\sigma(A)

위에서 정의된 특정 측도

\mu

에 대한 L² 공간

L^2(\sigma(A), \mu)

에서, 함수

f(\lambda) = \lambda

를 곱하는 '곱셈 연산자'와 유니터리 동치가 된다.^[8] 즉, 적절한 유니터리 작용소

U

를 통해

A

를

L^2(\sigma(A), \mu)

상의 곱셈 연산자로 변환할 수 있다는 의미이다. 이 표현은

A

를 곱셈 연산자로 나타내는 동시에,

L^2(\sigma(A), \mu)

공간 자체가 각 점

\lambda

에 대응하는 1차원 힐베르트 공간

H_{\lambda} = \mathbb{C}

들의 직접 적분으로 볼 수 있으므로, 직접 적분 표현과도 일치한다.

그러나 모든 유계 자기 수반 작용소가 순환 벡터를 가지는 것은 아니다. 직접 적분 분해의 유일성에 따르면, 순환 벡터가 존재한다는 것은 직접 적분 표현

\int_X^\oplus H_\lambda \, d\mu(\lambda)

에서 거의 모든

\lambda

에 대해 해당 힐베르트 공간

H_\lambda

의 차원이 1이어야 함을 의미한다. 이렇게 모든

H_\lambda

의 차원이 1인 경우, 작용소

A

는 '''단순 스펙트럼'''(simple spectrum)을 갖는다고 말한다. 이는 스펙트럼 중복도 이론에서 정의하는 개념이다. 따라서 순환 벡터를 갖는 유계 자기 수반 작용소는, 마치 모든 고윳값이 서로 다르고 중복도가 1인 자기 수반 행렬처럼, 스펙트럼의 각 지점에서 '겹침'이 없는 가장 간단한 형태의 작용소라고 생각할 수 있다. 이는 유한 차원에서의 대각화 가능 행렬 중 고윳값이 모두 다른 경우를 무한 차원으로 일반화한 것으로 볼 수 있다.

비록 모든 작용소

A

가 순환 벡터를 가지지는 않지만, 전체 힐베르트 공간

\mathcal H

를

A

에 대해 불변 부분 공간들의 직교합으로 분해할 수 있으며, 각 불변 부분 공간에서는

A

를 제한시킨 작용소가 순환 벡터를 갖도록 만들 수 있다. 이러한 분해 가능성은 스펙트럼 정리의 곱셈 연산자 형태와 직접 적분 형태를 증명하는 데 있어 핵심적인 역할을 한다.

5. 일반적인 자기 수반 연산자에 대한 스펙트럼 정리

힐베르트 공간 $\mathcal H$ 위에 부분적으로 정의된 자기 수반 작용소

: $A\colon\operatorname{dom} A\subset\mathcal H\to\mathcal H$

가 존재한다고 가정하자. 이때 '''스펙트럼 정리'''에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 측도 공간 $(X,\Sigma,\mu)$ , 가측 함수 $f\colon X\to\mathbb R$ , 그리고 유니터리 작용소

: $U\colon\mathcal H\to L^2(X)$

가 존재한다 ( $\operatorname{dom}U=\mathcal H$ , $U(\mathcal H)=L^2(X)$ ).

: $A=U^{-1}fU$

해석학과 같은 수학적 분석 분야에서 나타나는 많은 중요한 선형 연산자, 예를 들어 미분 연산자는 비유계 연산자이다. 이러한 비유계 연산자의 경우에도 적용되는 자기 수반 작용소에 대한 스펙트럼 정리가 존재한다. 예를 들어, 모든 상수 계수 미분 연산자는 어떤 곱셈 연산자와 유니타리하게 동등하며, 이 동등성을 구현하는 유니타리 연산자는 푸리에 변환이고 곱셈 연산자는 일종의 푸리에 승수이다.

일반적으로, 자기 수반 작용소에 대한 스펙트럼 정리는 여러 가지 동등한 형태를 가질 수 있다.^[10] 특히, 유계 자기 수반 작용소에 대해 알려진 모든 공식들(사영 값 측정 버전, 곱셈 연산자 버전, 직접 적분 버전 등)은 정의 문제를 해결하기 위한 약간의 기술적 수정을 통해 비유계 자기 수반 작용소에도 계속 적용될 수 있다. 예를 들어, $L^2([0,1])$ 공간에서 정의된 곱셈 연산자 $A$ 가 유계인 이유는 정의역이 $[0,1]$ 로 제한되기 때문이며, 만약 같은 연산자를 $L^2(\mathbb{R})$ 공간에서 정의한다면 비유계 연산자가 될 것이다.

"일반화된 고유 벡터"의 개념은 정규화 불가능한 고유 벡터로 특징지어지므로 비유계 자기 수반 작용소로 자연스럽게 확장된다. 그러나 거의 고유 벡터의 경우와 달리, 고유값은 실수 또는 복소수일 수 있으며, 실수라 하더라도 반드시 스펙트럼에 속하지는 않는다. 그럼에도 불구하고 자기 수반 작용소의 경우, 해당 고유 벡터 집합이 완전한 "일반화된 고유값"의 실수 부분 집합이 항상 존재한다.

'''곱셈 연산자 형식의 스펙트럼 정리'''는 다음과 같이 표현될 수 있다: 어떤 힐베르트 공간 '''H'''에서의 각 자기 수반 작용소 '''T'''에 대해, '''H'''에서 공간 '''L²(M, μ)'''로의 위로의 등거리 동형(isometry)을 이루는 어떤 유니타리 연산자가 존재하며, '''T'''는 그 공간 '''L²(M, μ)'''에서 곱셈 연산자로 표현된다.

또한, 자기 수반 작용소 ''T''가 작용하는 힐베르트 공간 ''H''는, ''T''가 각 공간 ''H_i''로 제한되었을 때 단순한 스펙트럼을 갖는 힐베르트 공간 ''H_i''들의 직합으로 나타낼 수도 있다. 이러한 분해는 유니타리 동치성을 제외하면 "유일"하게 구성할 수 있으며, 이를 "순서화된 스펙트럼 표현"(ordered spectral representation)이라고 부른다.

5. 1. 함수 미적분학

스펙트럼 정리의 중요한 응용 중 하나는 함수 미적분학 개념을 정립하는 것이다. 이는 작용소

A

의 스펙트럼 위에서 정의된 함수

f

가 주어졌을 때, 이를 이용하여 새로운 작용소

f(A)

를 정의하는 방법을 제공한다.

만약 함수

f

가 단순한 양의 정수 거듭제곱, 예를 들어

f(x) = x^n

(단,

n

은 양의 정수) 형태라면,

f(A)

는 단순히 작용소

A

를

n

번 적용한

A^n

으로 쉽게 정의할 수 있다. 하지만 함수

f

가 제곱근 함수(

f(x) = \sqrt{x}

)나 지수 함수(

f(x) = e^x

)와 같이 다항 함수가 아닌 경우에는 정의가 더 복잡해지는데, 이때 스펙트럼 정리가 핵심적인 역할을 한다.^[9]

스펙트럼 정리에는 여러 형태가 존재하지만, 어떤 형태를 사용하든 함수

f

에 대응하는 작용소

f(A)

를 정의하는 함수 미적분학을 구축할 수 있다. 예를 들어, 스펙트럼 정리를 통해 작용소

A

를 직접 적분 형태로 표현했을 경우,

f(A)

는 각 부분 공간에서 "함수

f

의 값

f(\lambda)

를 곱하는 연산자"로 정의된다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

[f(A)s](\lambda) = f(\lambda) s(\lambda).

이 식은 직접 적분으로 분해된 각 공간

H_{\lambda}

가, 새로운 작용소

f(A)

에 대해 고유값

f(\lambda)

를 갖는 (일반화된) 고유 공간 역할을 한다는 것을 의미한다.

참조

_[1] 간행물 Cauchy and the spectral theory of matrices
_[2] 웹사이트 A Short History of Operator Theory by Evans M. Harrell II http://www.mathphysi[...]
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 웹사이트 Cauchy and the spectral theory of matrices by Thomas Hawkins http://www.sciencedi[...]
_[12] 웹사이트 A Short History of Operator Theory by Evans M. Harrell II http://www.mathphysi[...]
_[13] 서적 Quantum Theory for Mathematicians Springer

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